拓扑相变的物理图像
1. 一般相变
对于一般的相变是朗道理论预言的由对称性自发破缺导致的。
比如在一维横场Ising模型中的量子相变 \(H = -J \sum_{j} \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z - h \sum_{j} \sigma_j^x\)
其相图为
这个模型存在$Z_2$对称性，即自旋翻转后哈密顿量保持不变。系统在铁磁基态理论上是二重简并的，即自旋全部朝上，和自旋全部朝下，满足$Z_2$对称性。
但在实际系统中，会自发地选择其中一个态作为系统的基态，即自发对称性破缺，系统不再满足$Z_2$对称性。但在顺磁相，系统依然满足$Z_2$对称性。
当从大到小调解横向磁场$h$，系统会在临界点$h_c$处发生从顺磁相到铁磁相的量子相变，系统的对称性减小了。
2. 拓扑相变
后来发现自然界还存在另一种相变类型，系统不会发生对称性破缺。比如SSH模型
哈密顿量为，其中$\delta t$表示不均匀度，体系取开边界条件
\[H = -\sum_{i=1}^{N} \left[ (t-\delta t) c_{i,A}^\dagger c_{i,B} + (t+\delta t)c_{i,B}^\dagger c_{i+1,A} + \text{h.c.} \right]\]其能谱图为
为方便处理，以下讨论都取 $t=1$
在$\delta t<0$的时候，系统没有零能模（暂且称为正常绝缘态，NI）。如果体系是半满，即$N$个电子（电子之间无相互作用），由于体系离散能谱有$N$个负能级，$N$个正能级，那么$N$个电子直接填满$N$个负能级也就是说这种情况基态是非简并的。
在$\delta t>0$的时候，系统出现了两个零能模，即两个能级为$E=0$的态（暂且称为拓扑绝缘态，TI），在这种态上，如果体系是单电子，那么这个电子会完全局域在第$1$个格点的$A$子格或第$N$个格点的$B$子格中的一个上。如果体系是半满，即$N$个电子（电子之间无相互作用），由于体系离散能谱有$N-1$个负能级，$2$个零能级，$N-1$个正能级，那么$N-1$个电子先填满$N-1$个负能级，剩下一个电子填充$2$个零能级中的一个，也就是说这种情况基态是双重简并的。
| 模型在热力学极限下的连续能谱为$E(k) = \pm | h(k) | = \pm \sqrt{4\delta t^2 + 4(t^2-\delta t^2) \sin^2(k)}.$ |
显然我们可以看到，在$\delta t=0$的时候，体系发生了从gapped到gapless的转变，即基态与激发态的能级发生了交叉，基态简并度发生了变化，即$\delta t<0$与$\delta t>0$的系统不是绝热相连（所谓绝热相连就是说一个系统经过变化，基态基态简并度不发生变化，基态能级不会与激发态能级态发生交叉，即基态与激发态之间的Gap不会闭合）的，体系必然发生了量子相变。但是相变点两边体系的对称性却是一样的，这显然不符合朗道理论，也就无法定义一个序参量。
2.1 拓扑不变量
那么如何来区分两种相呢？答案：拓扑不变量，也就是Berry相位。
数学上类比比如杯子和甜甜圈，前者没洞，这两者在拓扑上明显是不等价的。那么可以定义某个量（一个对表面求积分的量）来区分它们。前者没有洞，$I=0$；后者有一个洞，$I=1$。回到物理中，我们无法明显的从结构上看出来有没有洞，这里求的是对Berry相位进行积分也有一个量，拓扑不变量：$C$。对于平庸态：$C=0$，对于非平庸拓扑态：$C\neq0$（可能是因为边缘态存在导致的？）。
由于拓扑绝缘体伴随着边缘态出现的，我们可以把它看作几何结构上的”洞“。
对与量子霍尔效应来说，这个拓扑不变量即为Chern number； 对于拓扑绝缘体来说，这个拓扑不变量即为$Z_2$ Invariants； 对于拓扑超导体来说，这个拓扑不变量即为Majorana number。